题目内容
如图，三棱锥P-ABC中，| PA |
| AB |
| PA |
| AC |
| AB |
| AC |
| PA |
| AC |
| AB |
（I）求证：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求A点到平面PBC的距离．
考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2AB=2，由此能证明PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A点到平面PBC的距离．
（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A点到平面PBC的距离．
解答：
（Ⅰ）证明：∵三棱锥P-ABC中，
•
=
•
=
•
=0，
2=
2=4
2=4，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2AB=2，
∴PA⊥平面ABC，∴AB⊥PB，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC，
∵M为棱PC的中点，∴AM⊥PC，
又AM∩AB=A，∴PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）解：以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），B（0，1，0），C（2，0，0），
=(0，1，-2)，
=(2，0，-2)，
设平面PBC的法向量
=(x，y，z)，
则
，
取x=2，得
=（1，2，1），
∵
=（0，1，0），
∴A点到平面PBC的距离d=
=
=
．
| PA |
| AB |
| PA |
| AC |
| AB |
| AC |
| PA |
| AC |
| AB |
∴PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2AB=2，
∴PA⊥平面ABC，∴AB⊥PB，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC，
∵M为棱PC的中点，∴AM⊥PC，
又AM∩AB=A，∴PC⊥平面MAB．
（Ⅱ）解：以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），B（0，1，0），C（2，0，0），
| PB |
| PC |
设平面PBC的法向量
| n |
则
|
取x=2，得
| n |
∵
| AB |
∴A点到平面PBC的距离d=
|
| ||||
|
|
| |2| | ||
|
| ||
| 3 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案
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