Question

证明不等式e^x＞x+1＞lnx，x＞0．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：构造函数f（x）=e^x-x-1，x＞0及g（x）=x+1-lnx，x＞0，利用导数判断函数的单调性，求得f（x）及g（x）的最小值即得，f（x）＞f（0）=0，g（x）≥g（1）＞0，不等式即可得证．

解答： 证明：①令f（x）=e^x-x-1，x＞0，
则f′（x）=e^x-1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0），
而f（0）=e⁰-0-1=0，∴f（x）＞0，
即e^x＞x+1．
②令g（x）=x+1-lnx，x＞0，
则g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

；
令g′（x）=0，得x=1，
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	2	↗

∴g（x）_min=g（1）=2，即对任意x∈（0，+∞）有 g（x）≥g（1）＞0，
∴x+1＞lnx．
综上当x＞0时，有e^x＞x+1＞lnx．

点评：本题主要考查利用导数证明不等式成立的知识，通过构造函数法把问题转化为求函数的最值问题解决，体会转化划归思想的运用，属难题．