Question

在直角坐标平面内，动点M（x，y）在y轴的左侧，且点M到定点F（-1，0）的距离与到y轴的距离之差为1．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点P（-3，-2）的直线l与曲线C交于A、B两点，且点P恰好是AB的中点，求线段AB的长度．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据动点M（x，y）在y轴的左侧，且点M到定点F（-1，0）的距离与到y轴的距离之差为1，建立方程，化简可求动点M的轨迹C的方程；
（2）利用点差法求出直线AB的斜率，可得AB的方程美誉抛物线方程联立，结合抛物线的定义，可求线段AB的长度．

解答： 解：（1）依题意有：

(x+1)2+y2

-(-x)=1…（2分）
即

(x+1)2+y2

=1-x，平方化简得：y²=-4x
∴M点的轨迹方程为y²=-4x（x＜0）…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y12=-4x1，y22=-4x2⇒（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-4（x₁-x₂），
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-4

-4

=1，
∴l_AB：y+2=（x+3）即y=x+1…（8分）

y2=-4x y=x+1

⇒x2+2x+1=-4x⇒x2+6x+1=0，
∴x₁+x₂=-6，∴|AB|=（1-x₁）+（1-x₂）=8
即线段AB的长度为8                                         …（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．