Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，则该数列的前8项和为（　　）

• A、38
• B、40
• C、42
• D、44

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式结合a₁=1，a₂=2得到一般性结论当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1-a_2k-1=1．当n=2k（k∈N^*）时，a_2k=2^k．由此可求得数列的前8项和．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，
∴a₃=（1+cos²

π

2

）a₁+sin²

π

2

=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=[1+cos²

(2k-1)π

2

]a_2k-1+sin²

(2k-1)π

2

=a_2k-1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos²

2kπ

2

）a_2k+sin²

2kπ

2

=2a_2k．
∴数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k．
该数列的前项的和为1+2+2+4+3+8+4+16=40．
故选：B．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系和等比关系的确定，是中档题．