Question

已知f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0且a≠1）是奇函数
（1）求m值
（2）讨论f（x）单调性
（3）若a=

1

2

，对x∈[3，4]，不等式f（x）＞（

1

2

）^x+t恒成立，求实数t取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由奇函数的概念列式求得m的值；
（2）求出函数f（x）的定义域，分析内层函数的单调性，然后讨论a的范围得到外层函数的单调性，由复合函数的单调性得答案；
（3）取a=

1

2

时求出x∈[3，4]时函数的最小值，把不等式转化为-1＞(

1

2

)x+t恒成立，分离参数t后再由函数的单调性求出实数t取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0且a≠1）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即loga

1+mx

-x-1

=loga

x-1

1-mx

，
∴

1+mx

-x-1

=

x-1

1-mx

，
m²=1，解得m=±1．
当m=1时原函数无意义，
∴m=-1；
（2）f(x)=loga

1+x

x-1

，
由

x+1

x-1

＞0，得x＜-1或x＞1．
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
领t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

．
当x∈（-∞，-1），（1，+∞）时，函数t=1+

2

x-1

为减函数，
∴当a＞1时，函数f(x)=loga

1+x

x-1

的减区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
当0＜a＜1时，函数f(x)=loga

1+x

x-1

的增区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
（3）a=

1

2

时，f(x)=log

1

2

x+1

x-1

=log2

x-1

x+1

在[3，4]上为增函数，
此时f（x）∈[-1，log2

3

5

]．
要使不等式f（x）＞（

1

2

）^x+t恒成立，
则需-1＞(

1

2

)x+t恒成立，
即t＜-(

1

2

)x-1恒成立．
∴t＜-

1

8

-1=-

9

8

．
∴实数t取值范围是(-∞，-

9

8

)．

点评：本题考查了函数的性质，训练了复合函数单调性的求法，训练了数学转化思想方法，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，是中档题．