Question

已知{a_n}为等比数列，前n项的和为S_n，且a₇=

1

64

，a₂=

1

2

．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项的和为S_n；
（Ⅱ）若b_n=log₂（2-S_n），数列{b_n}前n项的和为T_n，求数列{

1

Tn

}（n≥2）的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，利用等比数列的通项公式、前n项和公式即可得出．
（II）b_n=log₂（2-S_n）=1-n．可得T_n=

n(1-n)

2

.

1

Tn

=2(

1

n

-

1

n-1

)，再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₇=

1

64

，a₂=

1

2

．
∴a1q6=

1

64

，a1q=

1

2

，解得q=

1

2

，a₁=1，
∴an=a1qn-1=

1

2n-1

．
S_n=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
（II）b_n=log₂（2-S_n）=log2(

1

2

)n-1=1-n．
∴T_n=

n(1-n)

2

．
∴

1

Tn

=2(

1

n

-

1

n-1

)，（n≥2）．
∴数列{

1

Tn

}（n≥2）的前n项和=

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=2[(

1

2

-1)+(

1

3

-

1

2

)+…+(

1

n

-

1

n-1

)]=2(

1

n

-1)=

2-2n

n

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．