Question

已知函数f（x）=log_a

2x-1

2x+1

（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并给予证明．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数定义满足：

2x-1

2x+1

＞0，即2^x＞1，x＞0，即可得到定义域，
（2）；设u（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，0＜x₁＜x₂，2 x1＜2 x2，u（x₁）-u（x₂）=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

＜0，u（x₁）＜u（x₂），再分类讨论，运用复合函数单调性定义判断即可．

解答： 解：函数f（x）=log_a

2x-1

2x+1

（a＞0且a≠1）
（1）定义域满足：

2x-1

2x+1

＞0，
即2^x＞1，x＞0，
∴定义域为：（0，+∞）
∵

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

∴0＜1-

2

2x+1

＜1，
当a＞1，log_a

2x-1

2x+1

＜log

1 a

=0
当0＜a＜1时，log_a

2x-1

2x+1

＞log

1 a

=0
所以：当a＞1，时，值域为；（-∞，0）
当0＜a＜1时，值域为；（0，+∞）
（2）证明；设u（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵0＜x₁＜x₂，2 x1＜2 x2，
∴u（x₁）-u（x₂）=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

＜0，
∴u（x₁）＜u（x₂）
当a＞1时，log_au（x₁）＜log_au（x₂），
即f（x₁）＜f（x₂），
所以当a＞1时，在（0，+∞）上单调递增，
当0＜a＜1时，log_au（x₁）＞log_au（x₂），
即f（x₁）＞f（x₂），
所以当a＞1时，在（0，+∞）上单调递减，

点评：本题考查了函数的单调性判断证明，解不等式等问题，属于中档题．