Question

已知函数f(x)=

9x

1+ax2

(a＞0)．
（1）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）若直线y=-x+2a为曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（3）当a=2时，设x1，x2，…，x14∈[

1

2

，2]，且x₁+x₂+…+x₁₄=14，若不等式f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤λ恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求f'（x），令f'（x）=0，可得极值点，分极值点在区间[

1

2

，2]内、外进行讨论可得函数的最大值；
（2）设切点为（t，f（t）），则

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a.

，解出方程组可求；
（3）f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤λ恒成立，等价于f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）的最大值小于等于λ．a=2时可得f（x），且由（2）知y=4-x为其切线，先由图象分析然后可证明f（x）≤4-x，由此对f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）放大，f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤4×14-（x₁+x₂+…+x₁₄）=56-14=42，从而可求最大值，注意检验等号取得条件．

解答： 解：（1）f′(x)=

9[1•(1+ax2)-x•2ax]

(1+ax2)2

=

9(1-ax2)

(1+ax2)2

，
令f'（x）=0，解得x=±

a

a

（负值舍去），由

1

2

＜

a

a

＜2，解得

1

4

＜a＜4．
（ⅰ）当0＜a≤

1

4

时，得f'（x）≥0，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为f(2)=

18

4a+1

．
（ⅱ）当a≥4时，由x∈[

1

2

，2]，得f'（x）≤0，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为f（

1

2

）=

18

4+a

．
（ⅲ）当

1

4

＜a＜4时，∵在

1

2

＜x＜

a

a

时，f'（x）＞0，在

a

a

＜x＜2时，f'（x）＜0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为f（

a

a

）=

9 a

2a

．
（2）设切点为（t，f（t）），则

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a.

，
由f'（t）=-1，有

9(1-at2)

(1+at2)2

=-1，化简得a²t⁴-7at²+10=0，即at²=2或at²=5，①
由f（t）=-t+2a，有

9t

1+at2

=2a-t，②
由①、②解得a=2或a=

5 3 4

4

．
（3）当a=2时，f（x）=

9x

1+2x2

，
由（2）的结论直线y=4-x为曲线y=f（x）的切线，
∵f（2）=2，∴点（2，f（2））在直线y=4-x上，
根据图象分析，曲线y=f（x）在直线y=4-x下方．
下面给出证明：当x∈[

1

2

，2]时，f（x）≤4-x．
∵f（x）-（4-x）=

9x

1+2x2

-4+x=

2x3-8x2+10x-4

1+2x2

=

2(x-1)2(x-2)

1+2x2

，
∴当x∈[

1

2

，2]时，f（x）-（4-x）≤0，即f（x）≤4-x．
∴f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤4×14-（x₁+x₂+…+x₁₄），
∵x₁+x₂+…+x₁₄=14，∴f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤56-14=42．
∴要使不等式f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤λ恒成立，必须λ≥42．
又当x₁=x₂=…=x₁₄=1时，满足条件x₁+x₂+…+x₁₄=14，且f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）=42，
因此，λ的最小值为42．

点评：本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．