Question

已知函数f（x）=lnx+ax，a∈R．
（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）试求函数在区间（1，2）上的零点个数．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=-1时求得f'（x），进而可得函数单调区间，由单调性可得函数最大值；
（Ⅱ）先求得f'（x）=

ax+1

x

（x＞0），分a≥0，a＜0进行讨论：a≥0时，由函数单调性及端点处函数值符号可作出判断；a＜0时，可得-

1

a

为函数的唯一极大值点，且f（1）＜0，再根据极值点-

1

a

在区间（1，2）的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，可得结论；

解答： 解：（Ⅰ）若a=-1，则f′(x)=

-x+1

x

(x＞0)，
故函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）的最大值为f（1）=-1；
（Ⅱ）由题意，f′(x)=

ax+1

x

(x＞0)，
（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故函数在（1，2）上单调递增，而f（1）=a≥0，
∴此时函数f（x）在（1，2）上没有零点；
（2）当a＜0时，函数f（x）在(0，-

1

a

)上单调递增，在(-

1

a

，+∞)上单调递减，且f（1）=a＜0，
故有（ⅰ）当-

1

a

≤1即-1≤a＜0时，函数f（x）在（1，2）上没有零点；
（ⅱ）当1＜-

1

a

≤2即-1＜a≤-

1

2

时，f(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-1≤-1+ln2＜0，
∴此时函数f（x）在（1，2）上亦没有零点；
（ⅲ）当-

1

a

＞2即a＞-

1

2

时，f（2）=2a+ln2．
∴当f（2）=2a+ln2＜0时，函数f（x）在（1，2）上没有零点
当f（2）=2a+ln2＞0时，函数f（x）在（1，2）上有唯一的零点，
综上，当-

ln2

2

＜a＜0时，函数f（x）在（1，2）上有唯一的零点；
当a≤-

ln2

2

或a≥0时，函数f（x）在（1，2）上没有零点．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的零点，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，极值点不确定时要根据极值点与区间的位置关系分类讨论．