Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的两焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），且离心率为

2

2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）经过椭圆C的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足

BA

•

BF2

=2，求△ABF₂外接圆的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知条件得到

c=1 c a = 2 2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x₀，y₀），由

BA

•

BF

=2，能求出A（0，-1）或A（

4

3

，

1

3

），由此能求出△ABF的外接圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的两焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），且离心率为

2

2

，
∴

c=1 c a = 2 2

，解得a=

2

，c=1，b=1，
∴椭圆C的标准方程是

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），
设A（x₀，y₀），则

BA

=(x0，y0-1)，

BF

=(1，-1)，
∵

BA

•

BF

=2，
∴x₀-（y₀-1）=2，即x₀=1+y₀，
代入

x02

2

+y02=1，得：

x0=0 y0=-1

或

x0= 4 3 y0= 1 3

，
即A（0，-1）或A（

4

3

，

1

3

）；
当A为（0，-1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，
△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，
该外接圆的方程为x²+y²=1；
当A为（

4

3

，

1

3

）时，k_BF=-1，k_AF=1，
所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆，
由线段BA的中点（

2

3

，

2

3

）以及|BA|=

2 5

3

，
得△ABF的外接圆的方程为（x-

2

3

）²+（y-

2

3

）²=

5

9

；
综上所述，△ABF的外接圆的方程为x²+y²=1或（x-

2

3

）²+（y-

2

3

）²=

5

9

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考要三角形外接圆方程的求法，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质，注意向量知识的合理运用．