Question

已知函数f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1，m∈R，若x∈〔-2，4〕
（1）求f（x）的最小值g（min）；
（2）求f（x）的最大值g（max）．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1的对称轴为x=m-

3

2

，再分对称轴在闭区间[-2，4]的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得函数的最小值．
（2）根据函数f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1的对称轴为x=m-

3

2

，分对称轴小于1和大于或等于1两种情况，分别求得函数的最大值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1的对称轴为x=m-

3

2

，
当m-

3

2

＜-2时，函数在[-2，4]上是增函数，最小值g（min）=g（-2）=m²+4m-3．
当m-

3

2

∈[-2，4]时，最小值g（min）=g（m-

3

2

）=3m-

13

4

．
当m-

3

2

＞4时，函数在[-2，4]上是减函数，最小值g（min）=g（4）=m²-8m+27．
（2）∵函数f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1的对称轴为x=m-

3

2

，
当m-

3

2

＜1时，函数的最大值g（max）=g（4）=m²-8m+27．
当m-

3

2

≥1时，函数的最大值g（max）=g（-2）=m² +4m-3．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．