Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

（a∈R）
（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）求证：ln（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

（n∈N^*）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，求出切线的斜率，再求出切点的坐标，即可得出函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a=-1时，f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

在（0，+∞）上单调递增．当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞

x

x+1

． 再令x=

1

n

，则ln（1+

1

n

）＞

1 n

1 n +1

=

1

n+1

，利用

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，即可的证．

解答： （Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=ln（x+1）+

2x

x+1

，
∴f′（x）=

x+3

(x+1)2

，（1分）
∴f′（0）=3，∴所求的切线的斜率为3．（2分）
又∵f（0）=0，∴切点为（0，0）．（3分）
故所求的切线方程为：y=3x．（4分）
（Ⅱ）解：∵f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

（x＞-1），
∴f′（x）=

x+1+a

(x+1)2

．  （6分）
①当a≥0时，∵x＞-1，∴f′（x）＞0；  （7分）
②当a＜0时，
由

f′(x)＜0 x＞-1

，得-1＜x＜-1-a；由

f′(x)＞0 x＞-1

，得x＞-1-a；  （8分）
综上，当a≥0时，函数f（x）在（-1，+∞）单调递增；
当a＜0时，函数f（x）在（-1，-1-a）单调递减，在（-1-a，+∞）上单调递增．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当a=-1时，f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

在（0，+∞）上单调递增．  （10分）
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞

x

x+1

．  （11分）
令x=

1

n

，则ln（1+

1

n

）＞

1 n

1 n +1

=

1

n+1

．  （12分）
另一方面，∵

1

n(n+1)

＜

1

n2

，即

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，
∴

1

n+1

＞

1

n

-

1

n2

，（13分）
∴ln（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

（n∈N^*）（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确运用导数是关键．