题目内容
（1）解不等式：|x-1|+|2x+5|＜8；
（2）已知a，b，c＞0，且a+b+c=1，证明：
+
+
≥
．
（2）已知a，b，c＞0，且a+b+c=1，证明：
| a2 |
| b+3c |
| b2 |
| c+3a |
| c2 |
| a+3b |
| 1 |
| 4 |
考点：一般形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法,不等式的证明
专题：综合题,不等式的解法及应用
分析：（1）利用绝对值的几何意义，分段解不等式，将所得的结果并起来，得到绝对值不等式的解集；
（2）根据柯西不等式可得，不等式左边≥
，即可得证．
（2）根据柯西不等式可得，不等式左边≥
| (a+b+c)2 |
| b+3c+c+3a+a+3b |
解答：
（1）解：x≤-2.5时，不等式可化为-x+1-2x-5＜8，解得x＞-4，∴-2.5≥x＞-4；
-2.5＜x＜1时，不等式可化为-x+1+2x+5＜8，解得x＜2，∴-2.5＜x＜1；
x≥1时，不等式可化为x-1+2x+5＜8，解得x＜
，∴1≤x＜
，
综上，不等式的解集为（-4，
）；
（2）证明：根据柯西不等式可得，不等式左边≥
，
∵a+b+c=1，
∴
≥
，
∴
+
+
≥
．
-2.5＜x＜1时，不等式可化为-x+1+2x+5＜8，解得x＜2，∴-2.5＜x＜1；
x≥1时，不等式可化为x-1+2x+5＜8，解得x＜
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
综上，不等式的解集为（-4，
| 4 |
| 3 |
（2）证明：根据柯西不等式可得，不等式左边≥
| (a+b+c)2 |
| b+3c+c+3a+a+3b |
∵a+b+c=1，
∴
| (a+b+c)2 |
| b+3c+c+3a+a+3b |
| 1 |
| 4 |
∴
| a2 |
| b+3c |
| b2 |
| c+3a |
| c2 |
| a+3b |
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知
=
，
=
，
=
且满足λ（
+
）•
=0（λ＞0），则△ABC为（ ）
| BA |
| a |
| BC |
| b |
| AC |
| c |
| ||
|
|
| ||
|
|
| c |
| A、等腰三角形 | B、等边三角形 |
| C、直角三角形 | D、不确定 |