Question

在四面体ABCD中，AB=AC=1，∠BAC=90°，AD=

3

，△BCD是正三角形，
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求AB与平面ACD所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取BC的中点O，连接OA，OD，由已知条件推导出BC⊥面AOD，由此能证明AD⊥BC；
（2）设AB与平面ACD所成角的大小为θ，B到平面ACD的距离为d，则sinθ=

d

AB

．用等体积法求出d，由此能求出AB与平面ACD所成角的大小．

解答： 解：（1）证明：取BC的中点O，连接OA，OD，
∵AB=AC，
∴BC⊥OA，
∵△BCD是正三角形，
∴BC⊥OD，又OA∩OD=O，
∴BC⊥面AOD，
∴AD⊥BC；
（2）设AB与平面ACD所成角的大小为θ，
B到平面ACD的距离为d，
则sinθ=

d

AB

．
下面用等体积法求d：
∵AB=AC=1，∠BAC=90°，即△BAC是等腰直角三角形，
∴BC=

2

，AO=

2

2

，
∵△BCD为等边三角形，
∴DE=

2

sin60°=

6

2

，
∴cos∠AED=

DE2+AE2-AD2

2DE•AE

=-

3

3

，
∴sin∠AED=

1-(- 3 3 )2

=

6

3

，
∴S_△AED=

1

2

DE•AE•sin∠AED

2

4

．
∵BC⊥平面ADE，
∴V_A-BCD=V_C-AED+V_B-AED
=

1

3

S△AED×BC=

1

6

．
△ACD中，AC²+CD²=3=AD²，
∴∠ACD=90°，
∴S_△ACD=

1

2

AC•CD=

2

2

，
∴

1

3

S△ACD×d=V_B-ACD=V_A-BCD=

1

6

，
∴d=

2

2

，
∴sinθ=

d

AB

=

2

2

，∴θ=45°，
即AB与平面ACD所成角的大小为45°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．