Question

函数y=sin²x+2cosx在区间[-

2

3

π，

2

3

π]上的最小值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：将解析式化简为关于cosx的二次函数形式，然后结合二次函数闭区间上的最值求法解答．

解答： 解：因为y=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1，设t=cosx，因为x∈[-

2

3

π，

2

3

π]，所以t∈[-

1

2

，1]，
y=-t²+2t+1=-（t-1）²+2在[-

1

2

，1]是增函数，
所以它的最小值为t=-

1

2

时的函数值，为-

1

4

-2×

1

2

+1=-

1

4

；
故答案为：-

1

4

．

点评：本题考查了三角函数与二次函数相结合的函数最值的求法；本题关键是利用换元将解析式转化为二次函数的解析式，注意新元的范围．