Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意n∈N*都有S_n=2n-a_n．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想该数列的通项公式a_n，并用数学归纳法证明猜想的正确性．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由题设条件，分别令n=1，2，3，4，能够求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{a_n}的通项公式，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（Ⅰ）因为S_n=2n-a_n，
所以a₁=1，a₂=

3

2

，a₃=

7

4

，a₄=

15

8

；
（Ⅱ）猜想a_n=

2n-1

2n-1

证明：①n=1时成立
②假设n=k时成立，即a_k=

2k-1

2k-1

则n=k+1时，S_k+1=2（k+1）-a_k+1，又S_k=2k-a_k，
两式相减得：2a_k+1=2+a_k，
∴由假设及上式得：a_k+1=

2k+1-1

2k

所以n=k+1时也成立
由①②知a_n=

2n-1

2n-1

，n∈N₊时成立

点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．