Question

已知函数f（x）=log₃

1+x

1-x

（0≤x≤

1

2

）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数y=[f（x）]²-a•f（x）+1的最小值为-

a

2

，求实数a的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=log₃

1+x

1-x

（0≤x≤

1

2

）．把分子变形，利用不等式的性质求解运算．（2）换元法转化为二次函数分类讨论，令f（x）=t，t∈[0，1]，
函数y=[f（x）]²-af（x）+1=t²-at+1=（t-

a

2

）²+1-

a2

4

．

解答： 解：（1）

1+x

1-x

=

-(1-x)+2

1-x

=-1+

2

1-x

                   
∵x∈[0，

1

2

]，∴1-x∈[

1

2

，1]，

2

1-x

∈[2，4]，∴

1+x

1-x

∈[1，3]
∴log

1+x 1-x 3

∈[0，1]，即所求值域为[0，1]．                     
（2）令f（x）=t，t∈[0，1]，
函数y=[f（x）]²-af（x）+1=t²-at+1=（t-

a

2

）²+1-

a2

4

．   
设函数y=[f（x）]²-a-f（x）+1的最小值为g（a），
1若a≤0，则当t=0时，函数取到最小值g（a）=1，
由-

a

2

=1，得a=-2；                               
2若0＜a＜2，则当t=

a

2

时，函数取到最小值g（a）=1-

a2

4

，
由-

a

2

=1-

a2

4

，得a=1±

5

（舍）；                
3若a≥2，则当t=1时，函数取到最小值g（a）=2-a，
由-

a

2

=2-a，解得a=4．                          
综上可得：a=-2或a=4．

点评：本题综合考查了函数的性质，不等式性质，分类讨论的思想，换元法求解，难度较大，复杂运算．