题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意n∈N*，都有Sn=3an-5n．
（1）求数列{an}的首项；
（2）若数列{an+λ}是等比数列，试求出实数λ的值，并写出数列{an}的通项公式；
（3）数列{bn}满足bn=
，是否存在m，对任意n∈N*使得bn≤bm成立？如果存在，求出正整数m的值，如果不存在，说明理由．
（1）求数列{an}的首项；
（2）若数列{an+λ}是等比数列，试求出实数λ的值，并写出数列{an}的通项公式；
（3）数列{bn}满足bn=
| 9n+4 |
| an+5 |
考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质
专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用
分析：（1）直接在数列递推式中取n=1求得数列首项；
（2）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到{an+5}是以
为公比的等比数列，即λ的值是5．然后由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；
（3）把数列{an}的通项公式代入足bn=
，利用作商法得到当n≥3时，
＜1，当n=2时，
＞1，由此可得答案．
（2）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到{an+5}是以
| 3 |
| 2 |
（3）把数列{an}的通项公式代入足bn=
| 9n+4 |
| an+5 |
| bn |
| bn-1 |
| bn |
| bn-1 |
解答：
解：（1）∵Sn=3an-5n ①，
∴S1=a1=3a1-5，解得a1=
；
（2）由Sn=3an-5n，得Sn-1=3an-1-5（n-1），n≥2 ②．
①-②得，an=
an-1+
，
∴an+5=
(an-1+5)，
∴{an+5}是以
为公比的等比数列，即λ的值是5．
∴an=
•(
)n-1-5；
（3）∵bn=
，
∴bn=
．
∴
=
=
．
-1=
=
．
∴当n≥3时，
＜1，当n=2时，
＞1，
∴当n=2时，bn有最大值b2=
．
∴m=2．
∴S1=a1=3a1-5，解得a1=
| 5 |
| 2 |
（2）由Sn=3an-5n，得Sn-1=3an-1-5（n-1），n≥2 ②．
①-②得，an=
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴an+5=
| 3 |
| 2 |
∴{an+5}是以
| 3 |
| 2 |
∴an=
| 15 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（3）∵bn=
| 9n+4 |
| an+5 |
∴bn=
| 9n+4 | ||||
|
∴
| bn |
| bn-1 |
| ||||||
|
| 18n+8 |
| 27n-15 |
| 18n+8 |
| 27n-15 |
| 18n+8-27n+15 |
| 27n-15 |
| -9n+23 |
| 27n-15 |
∴当n≥3时，
| bn |
| bn-1 |
| bn |
| bn-1 |
∴当n=2时，bn有最大值b2=
| 264 |
| 135 |
∴m=2．
点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了利用作商法判断数列的单调性，考查了数列的函数特性，训练了利用单调性求函数的最值，是压轴题．
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相关题目
下列哪一组函数相等（ ）
A、f（x）=x与g（x）=
| |||
B、f(x)=x2与g(x)=(
| |||
C、f(x)=|x|与g(x)=(
| |||
D、f（x）=x2与g（x）=
|
若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
已知函数f（x）=
-
，（a∈R且a＞0）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若函数f（x）的定义域为（-2，2）时，求使f（1-m）-f（m2-1）＜0成立的实数m的取值范围．
| ex |
| a |
| a |
| ex |
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若函数f（x）的定义域为（-2，2）时，求使f（1-m）-f（m2-1）＜0成立的实数m的取值范围．
如图为一个四棱锥的正视图、侧（左）视图和俯视图，则该四棱锥的表面积为（ ）
| A、3 | ||
B、2+
| ||
| C、2 | ||
D、3+2
|