Question

已知函数f（x）=x³-3x²+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行
（1）求a的值和函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象与抛物线y=

3

2

x²-15x+3恰有三个不同交点，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据已知得f′（-1）=0，得到a，利用导数研究函数的单调性的步骤求单调区间；
（2）把给定方程做适当的等价变换，得到g（x）的图象与x轴有3个交点；求出单调区间，求出函数的极值，依题意极大值大于0，极小值小于0，进而解出b的取值范围．

解答： 解：（1）由已知得f′（x）=3x²-6x+a，
∵在x=-1处的切线与x轴平行
∴f′（-1）=0，解得a=-9．
这时f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜-1；
由f′（x）＜0，解-1＜x＜3．
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞）；单调减区间为（-1，3）．
（2）令g（x）=f（x）-（

3

2

x²-15x+3）=x³-

9

2

x²+6x+b-3，
则原题意等价于g（x）图象与x轴有三个交点
∵g′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）
∴由g′（x）＞0，解得x＞2或x＜1；
由g′（x）＜0，解得1＜x＜2．
∴g（x）在x=1时取得极大值g（1）=b-

1

2

；g（x）在x=2时取得极小值g（2）=b-1．
故

b- 1 2 ＞0 b-1＜0

，
∴

1

2

＜b＜1．

点评：本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，应熟练掌握利用可导函数研究函数的单调性的步骤．