Question

设f(x)=lnx+

a

x2

．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的零点个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；
（2）根据函数零点的判断条件即可求f（x）的零点个数．

解答： （1）解：f（x）的定义域是（0，+∞）（1分）
当a=1时，∵f′(x)=

1

x

-

1

x3

=

x2-1

x3

=

(x-1)(x+1)

x3

（2分）
令f'（x）=0，x=±1，（负舍去）                                   （3分）
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0（4分）
所以（0，1）是f（x）的减区间，（1，+∞）是f（x）的增区间                   （5分）
所以f（x）的减区间是（0，1），f（x）的增区间是（1，+∞）．                  （6分）
（2）f（x）的定义域是（0，+∞），∵f′(x)=

1

x

-

a

x3

=

x2-a

x3

（7分）
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，当a=0时有零点x=1，（8分）
当a＜0时，f（e^a）=a（e^2a+1）＜0，f（e^-a）=a（1-e^-2a）＞0，（9分）
（或当x→+0时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，）
所以f（x）在（0，+∞）上有一个零点，（10分）
当a＞0时，由（1）f（x）在(0，

a

)上是减函数，f（x）在(

a

，+∞)上是增函数，所以当x=

a

是，f（x）有极小值，即最小值f(

a

)=

1

2

(lna+1)．                     （11分）
当

1

2

(lna+1)＞0，即a＞

1

e

时f（x）无零点，
当

1

2

(lna+1)=0，即a=

1

e

时f（x）有一个零点，
当

1

2

(lna+1)＜0，即0＜a＜

1

e

时f（x） 有2个零点．                    （13分）
综合：当a＞

1

e

时f（x）无零点，当a=

1

e

时f（x）有一个零点，当0＜a＜

1

e

时f（x） 有2个零点．（14分）

点评：本题主要考查函数零点的判断以及函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．