Question

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）•e^x，其中a∈R．
（1）是否存在实数a，使得函数y=f（x）在R上单调递增？若存在，求出的a值或取值范围；否则，请说明理由．
（2）若a＜0，且函数y=f（x）的极小值为-

3

2

e，求函数的极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，由f′（x）≥0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]≥0．从而得到△=（a+2）²-4（-2a²+4a）≤0，即（3a-2）²≤0，即a=

2

3

，此时，f′（x）=（x+

4

3

）²e^x≥0，函数y=f（x）在R上单调递增．
（2）由f′（x）=0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]=0，解之得x₁=-2a，x₂=a-2．当a＜0时，由条件可知，f（-2a）=-

3

2

e，即3a•e^-2a=-

3

2

e，可得a=-

1

2

．从而求出极大值．

解答： 解 （1）∵f（x）=（x²+ax-2a²+3a）•e^x，
∴f′（x）=e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]．
由f′（x）≥0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]≥0．
即x²+（a+2）x-2a²+4a≥0在x∈R时恒成立．
∴△=（a+2）²-4（-2a²+4a）≤0，
即（3a-2）²≤0，即a=

2

3

，此时，
f′（x）=（x+

4

3

）²e^x≥0，
函数y=f（x）在R上单调递增．
（2）由f′（x）=0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]=0，
解之得x₁=-2a，x₂=a-2．
当a＜0时，-2a＞a-2，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由条件可知，f（-2a）=-

3

2

e，即3a•e^-2a=-

3

2

e，
∴

3a=- 3 2 -2a=1

，可得a=-

1

2

．
此时，f（x）=（x²-

1

2

x-2）e^x，
极大值为f（a-2）=f（-

5

2

）=

11

2

e-

5

2

．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，属于中档题．