Question

设f（x）=

1

4

x²+

1

2

x-

3

4

，正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（a_n），（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2对一切n∈N^*都成立，求{b_n}的通项．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

，所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

an2+

1

2

an-

1

4

an-12-

1

2

an-1，从而得a_n-a_n-1=2（n≥2），由此能求出a_n=2n+1．
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2，得a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=2ⁿ（2n-3）+2，两式相减得，a_nb_n=（2n+1）•2ⁿ，由此能求出b_n=2ⁿ．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

4

x²+

1

2

x-

3

4

，正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（a_n），
∴Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

an2+

1

2

an-

1

4

an-12-

1

2

an-1，
整理，得a_n-a_n-1=2（n≥2），
∵a1=S1=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

，解得a₁=3或a₁=-1（舍）
∴数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列
∴a_n=2n+1．
（2）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=2ⁿ（2n-3）+2，
两式相减得，a_nb_n=（2n+1）•2ⁿ，
∵a_n=2n+1，∴b_n=2ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意常规解法的灵活运用．