Question

若4a²+3b²=4，求y=（2a²+1）•（b²+2）的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：本题利用已知的和为定值，将要求的积中两数转化为和是定值的情况，用基本不等式法，得到积的最大值．

解答： 解：利用基本不等式，有：当x＞0，y＞0时，有xy≤(

x+y

2

)2．
∵4a²+3b²=4，
∴y=（2a²+1）•（b²+2）
=

1

6

(4a2+2)(3b2+6)
≤

1

6

[

(4a2+2)+(3b2+6)

2

]2
=

1

6

(

4a2+3b2+8

2

)2
=

1

6

×(

4+8

2

)2
=6
当且仅当4a²+2=3b²+6，即a²=1，b²=0时，不等式取最值．
∴y=（2a²+1）•（b²+2）的最大值为6．

点评：本题考查的是基本不等式，注意不等式使用的条件“一正、二定、三相等”，要配凑成和为定值的形式，并关注取等号的条件．本题有一定难度，但运算量不大，属于中档题．