Question

已知函数f（x）=

3x-1

x

，x＞0，是否存在实数a，b（0＜a＜b），使得函数定义域和值域均为[a，b]？若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：计算题

分析：先由导函数确定单调区间，讨论出符合题意的区间，联立方程组解出即可．

解答： 解：∵f′（x）=

1

x2

＞0，
∴f（x）在定义域上是增函数；
令f（x）=0，解得：x=

1

3

，
∴在（0，

1

3

]上，f（x）≤0，不合题意，
假设在（

1

3

，+∞）上存在实数a，b（0＜a＜b），使得函数定义域和值域均为[a，b]，
由题意得；

f(a)=a f(b)=b

即：

3a-1 a =a 3b-1 b =b

，
解得：a=

3- 5

2

，b=

3+ 5

2

；
∴存在这样的实数a=

3- 5

2

，b=

3+ 5

2

使得函数定义域和值域均为[a，b]．

点评：本题属于求函数的值域的问题，渗透了分类讨论思想，可画出草图帮助解题．