Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=

π

2

，PA⊥底面ABCD，且AD=CD=

1

2

AB=1，M是PB的中点．
（1）求证：直线CM∥平面PAD；
（2）若直线CM与平面ABCD所成的角为

π

4

，求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）取AB的中点N，由已知条件推导出MN∥平面PAD，CE∥平面PAD，从而得到平面CMN∥平面PAD，由此能证明CM∥平面PAD．
（2）由已知条件推导出CM与平面ABCD所成的角为∠MCN=

π

4

，△AMC和△BMC都是边长为

2

的正三角形，取CM的中点G，则∠AGB为二面角A-MC-B的平面角，由此能求出二面角A-MC-B的余弦值．

解答： （1）证明：取AB的中点N，
则MN

∥

.

1

2

PA，∴MN∥平面PAD，
又四边形ADCM正方形，∴CM

∥

.

AD，∴CE∥平面PAD，
∴平面CMN∥平面PAD，
∴CM∥平面PAD．（4分）
（2）解：由PA⊥底面ABCD，得MN⊥底面ABCD，
则CM与平面ABCD所成的角为∠MCN=

π

4

，
∴PA=2MN=2CN=2AD=2，
∴△AMC和△BMC都是边长为

2

的正三角形，
取CM的中点G，则AG⊥CM，且BG⊥CM，（7分）
∴∠AGB为二面角A-MC-B的平面角，（9分）
在△AGB中，AG=BG=

6

2

，AB=2，
∴cos∠AGB=

AG2+BG2-AB2

2AG•BG

=-

1

3

．
∴二面角A-MC-B的余弦值为-

1

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．