Question

已知ω＞0，

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx）且f（x）=m•n+

1

2

的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C所对的边，且a=

19

，c=3，又cosA恰是f（x）在[

π

12

，

2π

3

]上的最小值，求b及△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）结合平面向量的数量积的坐标运算性质，然后，借助于辅助角公式和二倍角公式进行化简，即可；
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式，结合三角函数的图象与性质求解．

解答： 解：（1）∵

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），
∴f（x）=m•n+

1

2

=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）
∵f（x）的最小正周期为π．
∵T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）．
∴f（x）的解析式：f（x）=sin（2x-

π

6

）．
（2）∵x∈[

π

12

，

2π

3

]，
∴（2x-

π

6

）∈[0，

7π

6

]．
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
∴f（x）在[

π

12

，

2π

3

]上的最小值-

1

2

，
∴cosA=-

1

2

，
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+6b-10=0，
∴b=

19

-3或b=-

19

-3（舍去），
S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

（

19

-3）×3×

3

2

=

3 51 -9 3

4

，
∴△ABC的面积=

3 51 -9 3

4

．

点评：本题重点考查了平面向量的数量积的坐标运算性质，辅助角公式和二倍角公式，余弦定理和三角形的面积公式，三角函数的图象与性质等知识，考查比较综合，属于中档题．