Question

如图，矩形ABCD是一个观光区的平面示意图，建立平面直角坐标系，使顶点A在坐标原点O，B，D分别在x轴，y轴上，AD=3百米，AB=a百米（3≤a≤4）观光区中间叶形阴影部分MN是一个人工湖，它的左下方边缘曲线是函数y=

2

x

（1≤x≤2）的图象的一段．为了便于游客观光，拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路（宽度不计），要求其与人工湖左下方边缘曲线段M，）N相切（切点记为P），并把该观光区分为两部分，且直线/左下部分建设为花圃．设点j′到的AD距离为t，f（t）表示花圃的面积．
（1）求花圃面积f（t）的表达式；
（2）求f（t）的最小值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导函数得到切线的斜率，通过切线的方程研究切线与x轴、y轴的交点坐标，根据交点位置确定图形的形态，得到所求的函数；
（2）对（1）所求得的分段函数进行分段研究，分别用配方法的求导法求出保段上的最小值，再比较它们的大小，从而得到函数的最小值．

解答： 解：（1）由题意可知P(t，

2

t

)，y′=-

2

x2

，故过点P的切线方程为y-

2

t

=-

2

t2

(x-t)，
即y=-

2

t2

x+

4

t

（1≤t≤2）．切线l与x轴的交点为（2t，0），与y轴交点为(0，

4

t

)．
①当

2t≤a 4 t ≤3 1≤t≤2

，即

4

3

≤t≤

a

2

时，切线左下方区域为直角三角形，
∴f(t)=

1

2

×2t×

4

t

=4；
②当

2t＞a 4 t ≤3 1≤t≤2

，即

a

2

＜t≤2时，切线左下方区域为直角梯形，
∴f(t)=

1

2

(

4

t

+

4t-2a

t2

)a=

4at-a2

t2

；
③当

2t≤a 4 t ＞3 1≤t≤2

，即1≤t＜

4

3

时，切线左下方区域为三角梯形，
f(t)=

1

2

(

4t-3t2

2

+2t)•3=6t-

9

4

t2．
综上，f(t)=

6t- 9 4 t2，1≤t＜ 4 3 4  ，    4 3 ≤t≤ a 2 4at-a2 t2   ， a 2 ＜t≤2

．
（2）当1≤t＜

4

3

时，f(t)=6t-

9

4

t2=-

9

4

(t-

4

3

)2+4，当t=1时，[f(t)]min=

15

4

＜4；
当

a

2

＜t≤2时，f(t)=

4at-a2

t2

，f ′(t)=

2at(a-2t)

t4

＜0，
∴f(t)在(

a

2

，2]上单调递减，[f(t)]min=f(2)=2a-

a2

4

＜4；
下面比较2a-

a2

4

与

15

4

的大小，
当3＜a＜4时，2a-

a2

4

＞

15

4

，则[f(t)]min=

15

4

；
当a=3时，2a-

a2

4

=

15

4

，则[f(t)]min=

15

4

．
∴[f(t)]min=

15

4

．

点评：本题是应用题，考查的是导数知识，得到的数学模型是分段函数，考查了分类讨论的思想，研究函数最小值用到配方法、导数法，综合性较强，属于难题．