Question

已知f（x）为二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x．
（1）求f（x）；
（2）若mf（x）+2≥0对x∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）进一步利用条件求的解析式．
（2）由（1）得：mx²-mx+m-2≥0恒成立，然后对m进行分类讨论求的结果．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
f（0）=1
解得：c=1
f（x+1）=f（x）+2x
a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+2x
解得：a=1  b=-1
f（x）=x²-x+1
（2）由（1）得：
mx²-mx+m-2≥0恒成立
①当m=0时，-2≥0不成立
②当m≠0时，只需

m＞0 △≥0

解不等式组得：0＜m≤

8

3

即：m的取值范围：0＜m≤

8

3

故答案为：（1）f（x）=x²-x+1
（2）m的取值范围：0＜m≤

8

3

点评：本题考查的知识点：二次函数解析式的求法，含参数的不等式的恒成立问题的应用，分类讨论问题及相关的运算．