Question

设实数x，y满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=（a²+b²）x+y的最大值为8，则a+b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合,不等式的解法及应用

分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a²+b²=4，由不等式求出a+b的范围，则答案可求．

解答： 解：由约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

作出可行域如图，

化目标函数z=（a²+b²）x+y为直线方程的斜截式y=-（a²+b²）x+z．
由图可知，当直线y=-（a²+b²）x+z过C时直线在y轴上的截距最大，z最大．
联立

2x-y+2=0 8x-y-4=0

，得C（1，4），
∴a²+b²+4=8，即a²+b²=4．
∵（a+b）²≤2（a²+b²）=8，
∴-2

2

≤a+b≤2

2

．
∴a+b的最小值为-2

2

．
故答案为：-2

2

．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．