Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（Ⅰ）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调函数的定义证明；
（Ⅱ）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：1）直接由函数单调性的定义加以证明；
（2）由奇函数的性质得f（0）=0，求得a的值，然后利用奇函数的定义证明a=1时函数f（x）为奇函数．

解答： （1）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2•2x1+2-2•2x2-2

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）为R上的增函数；
（2）解：若函数f（x）为奇函数，
则f（0）=a-1=0，
∴a=1．
当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

．
∴f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=-f（x），
此时f（x）为奇函数，满足题意，
∴a=1．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，考查了利用定义证明函数的单调性，是中档题．