Question

沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高（母线长），所以圆柱的侧面积S=2πrl，其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长，现已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据相似三角形的性质，分析圆锥的高与底面半径的关系，可得圆柱的侧面积．
（2）由（1）中圆柱侧面积的表达式，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答： 解：（1）设内接圆柱底面半径为r
由三角形相似得

r

R

=

H-x

H

，
所以r=

(H-x)R

H

，
S_圆柱侧=2π

(H-x)R

H

•x=

2πR

H

（-x²+Hx）（0＜x＜H）．
（2）S_圆柱侧=

2πR

H

（-x²+Hx）=

2πR

H

•[-（x-

H

2

）²+

H2

4

]，又0＜x＜H，
所以当x=

H

2

时，S圆柱侧最大=

1

2

πRH．

点评：本题考查圆柱的表面积，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．