Question

已知关于x，y的方程C：x²+y²+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．
（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）若圆C与直线l交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先把圆的方程化为标准方程使得D²+E-4F＞0即可求得m的范围．
（Ⅱ）根据OM⊥ON，推断出x₁x₂+y₁y₂=0，利用直线与圆的方程联立，利用韦达定理分别求得x₁x₂和y₁y₂的表达式，代入即可求得m．

解答： 解：（1）令D²+E-4F=1+36-4M＞0，
得m＜

37

4

，
∴m的取值范围为（-∞，

37

4

）．
（ II）设M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，①
由

x2+y2+x-6y+m=0 x+2y-3=0

消x得5y²-20y+m+12=0，
△=400-20（m+12）＞0，②
y1+y2=

m+12

5

，y1+y2=4y₁+y₂=4，y₁y₂=

m+12

5

，
又x₁x₂=（-2y₁+3）（-y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=

4

5

(m+12)-15
代入①得，

4

5

(m+12)-15+

m+12

5

=0，
求得m=3满足②，故为所求

点评：本题主要考查了圆的标准方程以及圆直线的位置关系．解题的过程中注意灵活运用韦达定理．