Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两条渐近线于M，N两点，且与双曲线在第二象限的交点为P，设O为坐标原点，若

OP

=m

OM

+n

ON

（m，n∈R），且mn=

1

8

，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由方程可得渐近线，可得M，N，P的坐标，由已知向量式可得m+n=1，m-n=

b

c

，解之可得m，n的值，由mn=

1

8

，可得a，c的关系，由离心率的定义即可得到．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线为：y=±

b

a

x，
设左焦点F（-c，0），
则M（-c，

bc

a

），N（-c，-

bc

a

），P（-c，

b2

a

），
因为

OP

=m

OM

+n

ON

（m，n∈R），
所以（-c，

b2

a

）=（-（m+n）c，（m-n）

bc

a

），
所以m+n=1，m-n=

b

c

，
解得：m=

c+b

2c

，n=

c-b

2c

，
又由mn=

1

8

，得：

c2-b2

4c2

=

1

8

，
解得：

a2

c2

=

1

2

，
所以，e=

c

a

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，同时考查平面向量的基本定理及运用，属中档题．