Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=1，

OB

+

OC

+

OD

=

0

，A（1，1），则

AD

•

OB

的取值范围（　　）

• A、[-1-

  2

  ，

  2

  -1]
• B、[-

  1

  2

  -

  2

  ，-

  1

  2

  +

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  -

  2

  ，

  1

  2

  +

  2

  ]
• D、[1-

  2

  ，1+

  2

  ]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：由三角形的外心和重心的概念，可得O既是外心也为重心，则有△BCD为圆O：x²+y²=1的内接等边三角形，
又

AD

•

OB

=（

OD

-

OA

）•

OB

，由向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答： 解：由|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=1，可知O为外心，
由

OB

+

OC

+

OD

=

0

，可知O又为重心．
则有△BCD为圆O：x²+y²=1的内接等边三角形，
即有

AD

•

OB

=（

OD

-

OA

）•

OB

=

OD

•

OB

-

OA

•

OB

=|

OD

|•|

OB

|cos120°-|

OA

|•|

OB

|cos＜

OA

，

OB

＞
=-

1

2

-

2

cos＜

OA

，

OB

＞，由于0≤＜

OA

，

OB

＞≤π，
则-1≤cos＜

OA

，

OB

＞≤1，
即有

AD

•

OB

∈[-

1

2

-

2

，-

1

2

+

2

]．
故选：B．

点评：本题考查向量的数量积的定义，主要考查余弦函数的值域，运用三角形的外心和重心的定义和向量的三角形法则是解题的关键．