Question

定义在（0，+∞）函数f（x）满足：①当时x＞1，f（x）＜-2； ②对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）+2．
（Ⅰ）求出f（1）的值；
（Ⅱ）解不等式f（x）+f（x-1）＞-4；
（Ⅲ）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）+2，从而解得；
（Ⅱ）令y=

1

x

，x＞1，则有f（1）=f（x）+f（y）+2，从而可推出f（y）＞-2，则f（x）+f（x-1）＞-4可化为即f（x（x-1））＞-2，从而解得；
（Ⅲ）f（x）=log

1

2

x-2．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）+2；
则f（1）=-2；
（Ⅱ）令y=

1

x

，x＞1，则有f（1）=f（x）+f（y）+2，
则f（y）=-4-f（x），
又∵x＞1时，f（x）＜-2；
∴f（y）＞-2，
f（x）+f（x-1）＞-4可化为f（x（x-1））-2＞-4，
即f（x（x-1））＞-2，
故

x＞0 x-1＞0 0＜x(x-1)＜1

，
解得，1＜x＜

1+ 5

2

；
（Ⅲ）f（x）=log

1

2

x-2．

点评：本题考查了抽象函数的性质判断与应用，属于中档题．