Question

设半径长为5的圆C满足条件：（1）截y轴所得弦长为6；（2）圆心在第一象限．并且到直线l：x+2y=0的距离为

6 5

5

．
（Ⅰ）求这个圆的方程；
（Ⅱ）求经过P（-1，0）与圆C相切的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：

分析：（Ⅰ）设圆心C（a，b），根据截y轴弦长为6，求出a，利用C到直线l：x+2y=0的距离为

6 5

5

，求出b，即可求这个圆的方程；
（Ⅱ）分类讨论，斜率存在时，设切线方程y=k（x+1），由C到直线y=k（x+1）的距离

|5k-1|

1+k2

=5，求出k，可得切线方程；斜率不存在时，方程x=-1，也满足题意．

解答： 解：（Ⅰ）由题设圆心C（a，b），半径r=5，
∵截y轴弦长为6，
∴a²+9=25，
∵a＞0，
∴a=4…（2分）
由C到直线l：x+2y=0的距离为

6 5

5

，
∴d=

|4+2b|

5

=

6 5

5

，
∵b＞0，
∴b=1，
∴圆的方程为（x-4）²+（y-1）²=25；
（Ⅱ）①斜率存在时，设切线方程y=k（x+1），
由C到直线y=k（x+1）的距离

|5k-1|

1+k2

=5…（8分）
∴k=-

12

5

，
∴切线方程：12x+5y+12=0…（10分）
②斜率不存在时，方程x=-1，也满足题意，
由①②可知切线方程：12x+5y+12=0或x=-1…（12分）．

点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．