Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）设G是PB的中点，连接AG，GF，由已知条件能推导出AEFG是平行四边形，从而能够证明EF∥平面PAB．
（Ⅱ）由已知条件推导出AG⊥PB，PA⊥BC，BC⊥AB，从而得到BC⊥AG，由此能够证明EF⊥平面PBC．
（Ⅲ） 以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角E-PC-D的大小．

解答： （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：设G是PB的中点，连接AG，GF
∵E，F分别是AD，PC的中点，∴GF

∥ .

.

1

2

BC，AE

∥ .

.

1

2

BC
∴GF

∥ .

.

AE，∴AEFG是平行四边形，∴EF

∥ .

.

AG…（2分）
∵EF?平面PAB，AG?平面PAB，
∴EF∥平面PAB…（3分）
（Ⅱ）∵PA=AB，∴AG⊥PB，…（4分）
∵PA⊥ABCD，∴PA⊥BC，
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AG，…（6分）
∵PB与BC相交，∴AG⊥平面PBC，
∵EF∥AG，∴EF⊥平面PBC．…（7分）
（Ⅲ） 以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，…（8分）
∵PA=AD=2，
∴E（0，1，0），C（2，2，0），P（0，0，2），F（1，1，1），
设H是PD的中点，连接AH，∵AG⊥平面PBC，
∴同理可证AH⊥平面PCD，∴

AH

是平面PCD的法向量，

AH

=(0，1，1)…（9分）

EC

=(2，1，0)，

EP

=(0，-1，2)
设平面PEC的法向量

m

=(x，y，z)，则

m • EC =2x+y=0 m • EP =-y+2z=0

，
令y=2，则x=-1，z=1，∴

m

=(-1，2，1)…（12分）
∴cos＜

m

，

AH

＞=

m • AH

| m || AH |

=

3

6 • 2

=

3

2

．…（13分）
∴二面角E-PC-D的大小为30°．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的证明，考查二面角大小的求法，解题时要注意向量法的合理运用．