Question

已知数列{a_n}中，a1=1，a2=2，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)．
（Ⅰ）求证：{

an+1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）设gn(x)=

anxn-1

(n-1)!

，f（x）=g₁（x）+g₂（x）+g₃（x）+…+g_n（x），求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求证：对?n∈N₊，不等式f(2)＜

3

n

gn(3)恒成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

an+1

an

=

an

an-1

+1，由此能证明{

an+1

an

}是等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an+1

an

=n+1，从而得到gn(x)=

anxn-1

(n-1)!

=nx^n-1，由此利用分类讨论思想和错位相减法能求出f（x）的解析式．
（Ⅲ）由已知条件推导出f(2)=

1-2n

(1-2)2

-

n2n

1-2

=(n-1)2n+1，

3

n

gn(3)=3n，由此利用数学归纳法能证明对?n∈N₊，不等式f(2)＜

3

n

gn(3)恒成立．

解答： （Ⅰ）证明：∵an+1an-1=anan-1+an2，
∴

an+1

an

=

an

an-1

+1，∴

an+1

an

-

an

an-1

=1，
∴{

an+1

an

}是公差是1的等差数列．…（4分）
（Ⅱ）解：∵a₁=1，a₂=2，{

an+1

an

}是公差是1的等差数列，
∴

an+1

an

=n+1，
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=n•（n-1）…2•1=n!…（6分）
∴gn(x)=

anxn-1

(n-1)!

=nx^n-1，
∴当x=1时，f(x)=f(1)=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

…（7分）
当x≠1时，f（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1．①
xf（x）=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ．②
①-②，得：（1-x）f（x）=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=

1-xn

1-x

-nxn，
∴f(x)=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

，…（9分）
综上所述：f(x)=

n(n+1) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠1

．…（10分）
（Ⅲ）∵x≠1，∴f(2)=

1-2n

(1-2)2

-

n2n

1-2

=(n-1)2n+1，
又∵

3

n

gn(3)=3n，
∴验证知当n=1，2，3时不等式成立…（11分）
假设n=k（k＞3），不等式成立，即3^k＞（k-1）2^k+1，
两边乘以3得：3^k+1＞3（k-1）2^k+3=k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k•2^k+1+2，
又∵3（k-1）2^k-k•2^k+1+2=2^k（3k-3-2k）+2=（k-3）2^k+2＞0，
∴3^k+1＞k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2＞k•2^k+1+1，
即n=k+1时不等式成立．故不等式恒成立．…（13分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查函数解析式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法和数学归纳法的合理运用．