Question

如图，三棱锥P-ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，点Q在线段AC上，且AQ=2QC．
（Ⅰ）证明：CD∥平面OPQ
（Ⅱ）若二面角A-PB-C的余弦值的大小为

5

5

，求PA．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AD，交PO于M，连接OD，QM，则利用三角形中位线的性质，结合AQ=2QC，证明MQ∥CD，利用线面平行的判定定理证明CD∥平面OPQ
（Ⅱ）作OH⊥PB于H，连接CH，证明∠CHO是二面角A-PB-C的平面角，利用二面角A-PB-C的余弦值的大小为

5

5

，求出HB，在Rt△POB中，由射影定理可得OB²=BH•BP，即可求PA．

解答： （Ⅰ）证明：连接AD，交PO于M，连接OD，QM，则
∵点O，D分别是AB，PB的中点，
∴OD∥AP，OD=

1

2

AP，
∴

AM

MD

=

AP

OD

=2=

AQ

QC

，
∴MQ∥CD，
∵MQ?平面OPQ，CD?平面OPQ，
∴CD∥平面OPQ
（Ⅱ）解：连接OC，则
∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABC=AB，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AB，PO⊥OC
∵AC=BC，点O是AB的中点，
∴OC⊥AB，且OA=OB=OC=

2

a，
作OH⊥PB于H，连接CH，则
∵PO⊥OC，OC⊥AB，PO∩AB=A，
∴OC⊥平面PAB，
∴CH⊥PB，
∴∠CHO是二面角A-PB-C的平面角，
∵二面角A-PB-C的余弦值的大小为

5

5

，
∴cos∠CHO=

5

5

，
∴tan∠CHO=2，
在Rt△COH中，∴HO=

2

2

a，
∴HB=

6

2

a，
在Rt△POB中，由射影定理可得OB²=BH•BP，
∴BP=

OB2

BH

=

2a2

6 2 a

=

2 6

3

a
∴PA=

2 6

3

a．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角，利用线面平行的判定定理是关键．