Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且椭圆C上一点与两个焦点F₁，F₂构成的三角形的周长为2

2

+2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设

F2A

=λ

F2B

，若-2≤λ＜-1，求

F1A

•

F1B

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且椭圆C上一点与两个焦点F₁，F₂构成的三角形的周长为2

2

+2，可求a，c的值，从而可得椭圆M的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂作直线l，方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，利用韦达定理，结合

F2A

=λ

F2B

，可得λ+

1

λ

+2=-

4

1+2k2

，从而可得k²≥

7

2

，利用向量的数量积公式，即可求

F1A

•

F1B

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且椭圆C上一点与两个焦点F₁，F₂构成的三角形的周长为2

2

+2，
∴

c

a

=

2

2

，2a+2c=2

2

+2，
∴a=

2

，c=1，
∴b=

a2-c2

=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）过右焦点F₂作直线l，方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∵

F2A

=λ

F2B

，
∴y₁=λy₂，
∵y₁+y₂=-

2k

1+2k2

，y₁y₂=-

k2

1+2k2

，
∴λ+

1

λ

+2=-

4

1+2k2

令y=λ+

1

λ

（-2≤λ＜-1），则y′=1-

1

λ2

，
∴y=λ+

1

λ

在[-2，-1）上单调递增，
∴-

5

2

≤λ+

1

λ

＜-2，
∴-

1

2

λ+

1

λ

+2＜0，
∴-

1

2

≤-

4

1+2k2

＜0，
解得k²≥

7

2

，

F1A

•

F1B

=（x₁，+1，y₁），B（x₂，+1，y₂）=x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂=

7

2

-

9

2(1+2k2)

，
∵k²≥

7

2

，
∴0＜

9

2(1+2k2)

≤

9

16

，
∴

47

16

≤

7

2

-

9

2(1+2k2)

＜

7

2

，
∴

F1A

•

F1B

的取值范围为[

47

16

，

7

2

）．

点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，综合性强．