Question

设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，?y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=1成立，则称函数f（x）在定义域上为“相依函数”．给出下列五个函数①y=x³；②y=e^-x；③y=lgx；④y=2cosx+1；⑤y=x+

1

x

，则早其定义域上为“相依函数”的函数序号是

 

．（填出所有满足条件的函数符号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：函数①y=x³，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一x₂=

3	2-x13

，即可得到成立．
y=4sinx，因为y=4sinx是R上的周期函数，不成立．
②y=e^-x，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．
③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．
④y=2cosx+1，函数是R上的周期函数，函数的值域[-1，3]判断正误即可．
⑤y=x+

1

x

，利用特例以及函数的值域判断即可．

解答： 解：①y=x³，取任意的x₁∈R，由 

f(x1)+f(x2)

2

=1，解得x₂=

3	2-x13

，可以得到唯一的x₂∈D．故满足条件．
②y=e^-x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=-3，f（x₁）=e³．要使 

f(x1)+f(x2)

2

=1成立，则f（x₂）=2-e³＜0不成立．
③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=1成立．
④y=2cosx+1，函数的值域为[-1，2]，函数是R上的周期函数，存在x₂∈D，使 

f(x1)+f(x2)

2

=1成立．故满足条件．
⑤y=x+

1

x

，对于x₁=1，f（x₁）=2．要使 

f(x1)+f(x2)

2

=1成立，则f（x₂）=0，∵f（x）∈（-∞，-2]∪[2，+∞），不成立．
故答案为：①③④

点评：本题主要考查新定义的应用，考查学生的推理和判断能力．综合性较强．