题目内容
已知，在△ABC中2sin2
=
sinA，sin（B-C）=2cosBsinC，
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求
．
| A |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求
| AC |
| AB |
考点：两角和与差的正弦函数,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦及辅助角公式可得2sin（A+
）=1，利用条件在△ABC中，可得A=
；
（Ⅱ）将sin（B-C）=2cosBsinC展开后，转化可得sin（B+C）=4cosBsinC，利用正弦定理、余弦定理得2b2-2c2=a2+b2+c2-2bccos
=b2+c2-bc，从而可得答案．
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）将sin（B-C）=2cosBsinC展开后，转化可得sin（B+C）=4cosBsinC，利用正弦定理、余弦定理得2b2-2c2=a2+b2+c2-2bccos
| 2π |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2sin2
=
sinA，…2分
∴1-cosA=
sinA，
∴2sin（A+
）=1，
∴A+
=
，∴A=
…6分
（Ⅱ）∵sin（B-C）=2cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=4cosBsinC，即sin（B+C）=4cosBsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinA=4cosBsinC，由正弦定理、余弦定理得a=4×
×c，
即2b2-2c2=a2=b2+c2-2bccos
=b2+c2+bc，…10分
解得：
=
…12分
| A |
| 2 |
| 3 |
∴1-cosA=
| 3 |
∴2sin（A+
| π |
| 6 |
∴A+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（Ⅱ）∵sin（B-C）=2cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=4cosBsinC，即sin（B+C）=4cosBsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinA=4cosBsinC，由正弦定理、余弦定理得a=4×
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
即2b2-2c2=a2=b2+c2-2bccos
| 2π |
| 3 |
解得：
| b |
| c |
1+
| ||
| 2 |
点评：本题考查二倍角的余弦及辅助角公式，突出考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
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