Question

已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；  
②x=4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；  
③函数y=f（x）在区间[6，8]上单调递增；
④若方程f（x）=0．在区间[-2，2]上有两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=0．
以上命题正确的是

 

．（填序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①由于f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，及函数f（x）是偶函数即可得出；
②由①可知：f（x+4）=f（x），可得周期T=4，再利用函数f（x）是偶函数，关于y轴对称，可得x=4也是其对称轴；
③当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，又函数f（x）是偶函数，可得函数f（x）在x∈[0，2]时单调递增．再利用其周期性可得：函数f（x）在区间[6，8]上单调递增；
④利用当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，f（2）=0，可知：在x∈[0，2]时，只有f（2）=0．
同理在区间[-2，0）上只有f（-2）=0，即可得出．

解答： 解：①∵f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，则f（-2+4）=f（-2）+f（2），∴f（2）=2f（2），解得f（2）=0，因此①正确；
②由①可知：f（x+4）=f（x），∴f（4-x）=f（-x）=f（x），∴x=2是函数f（x）的对称轴，周期T=4，
又函数f（x）是偶函数，关于y轴对称，因此x=4也是其对称轴，故正确；
③当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，又函数f（x）是偶函数，∴函数f（x）在x∈[0，2]时，y=f（x）单调递增．∵T=4，∴函数f（x）在区间[6，8]上单调递增，因此正确；
④∵当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，f（2）=0，∴当x∈[0，2）时，f（x）＞0，不妨取x₂=2，
则f（x₂）=0．同理在区间[-2，0）上只有f（-2）=0，取x₁=-2，满足f（x₁）=0．
可知：x₁+x₂=-2+2=0．因此正确．
综上可知：①②③④都正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题综合考查了函数奇偶性、单调性、周期性，考查了推理能力和数形结合能力，属于难题．