Question

甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为

2

3

，乙在每局中获胜的概率为

1

3

，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局：
（Ⅰ）列出随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的期望值Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，求出该轮结束时比赛停止的概率，由此能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）由ξ的分布列能求出Eξ．
法二：（Ⅰ）ξ的所有可能值为2，4，6．令A_k表示甲在第k局比赛中获胜，

.

A

_k表示乙在第k局比赛中获胜．由独立性与互斥性能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）利用ξ的分布列能求出Eξ．

解答： 解法一：
（Ⅰ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．
设每两局比赛为一轮，
则该轮结束时比赛停止的概率为（

2

3

）²+（

1

3

）²=

5

9

．…（4分）
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
则有P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=

4

9

•

5

9

=

20

81

，P(ξ=6)=(

4

9

)2=

16

81

，…（7分）
∴ξ的分布列为

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

…（9分）
（Ⅱ）Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）
解法二：
（Ⅰ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．
令A_k表示甲在第k局比赛中获胜，则

.

A

_k表示乙在第k局比赛中获胜．
由独立性与互斥性得P（ξ=2）=P（A₁A₂）+P（

.

A

1

.

A

2）=

5

9

，…（2分）
P（ξ=4）=P（A1

.

A

2A3A4）+P（A1

.

A

2

.

A

3

.

A

4）+P（

.

A

1A2A3A4）+P（

.

A

1A2

.

A

3

.

A

4）
=2[（

2

3

）³（

1

3

）+（

1

3

）³（

2

3

）]=

20

81

，…（4分）
P（ξ=6）=P（A1

.

A

2A3

.

A

4）+P（A1

.

A

2

.

A

3A4）+P（

.

A

1A2A3

.

A

4）+P（

.

A

1A2

.

A

3A4）
=4（

2

3

）²（

1

3

）²=

16

81

，…（7分）
∴ξ的分布列为

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

…（9分）
（Ⅱ）Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．