Question

已知点P（x，y），点Q在曲线C：y²=2x上．
（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；
（2）求|PQ|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用两点间的距离公式可得|PQ|=

(x-2)2+y2

=2，联立即可解得点Q的坐标．
（2）|PQ|=

(x-2)2+y2

，其中y²=2x．可得|PQ|²=（x-2）²+2x=x²-2x+4=（x-1）²+3（x≥0）利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：设Q（x，y）（x＞0，y＞0），y²=2x
（1）由已知条件得|PQ|=

(x-2)2+y2

=2…（2分）
将y²=2x代入上式，并变形得，x²-2x=0，解得x=0（舍去）或x=2…（4分）
当x=2时，y=±2
只有x=2，y=2满足条件，所以点Q的坐标为（2，2）…（6分）
（2）|PQ|=

(x-2)2+y2

其中y²=2x…7分
|PQ|²=（x-2）²+2x=x²-2x+4=（x-1）²+3（x≥0）…（10分）
当x=1时，|PQ|min=

3

…（12分）
（不指出x≥0，扣1分）

点评：本题考查了两点间的距离公式、二次函数的单调性、方程的思想方法，考查学生的计算能力，属于中档题．