Question

已知函数f（x）=（x²+ax）e^x在（-1，1）上是减函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：可求得f′（x）=[x²+（a+2）x+a]e^x，利用x∈（-1，1）时，f′（x）≤0即可求得a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=（x²+ax）e^x，
∴f′（x）=[x²+（a+2）x+a]e^x，令g（x）=x²+（a+2）x+a，
又f（x）=（x²+ax）e^x（a∈R）在（-1，1）上单调递减，
∴当x∈（-1，1）时，f′（x）≤0，即g（x）≤0，
∴

g(-1)≤0 g(1)≤0

，即

1-(a+2)+a≤0 1+(a+2)+a≤0

，
解得a≤-

3

2

．
故答案为：（-∞，-

3

2

]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g（x）=x²+（a+2）x+a，得到g（-1）≤0且g（1）≤0是关键，考查理解与等价转化的能力，属于中档题．