Question

已知θ∈（

π

2

，π），

1

sinθ

+

1

cosθ

=2

2

，则sin（2θ-

π

3

）=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的正弦

专题：计算题,三角函数的求值

分析：对

1

sinθ

+

1

cosθ

=2

2

进行通分、两边同乘sinθcosθ，然后两边平方，利用同角三角函数基本关系式及倍角公式可求出sin2θ、cos2θ，注意根据角的范围确定三角函数值的符号，代入两角差的正弦公式求sin（2θ-

π

3

）值．

解答： 解：∵

1

sinθ

+

1

cosθ

=

sinθ+cosθ

sinθcosθ

=2

2

，
∴sinθ+cosθ=2

2

sinθcosθ=

2

sin2θ
两边平方得：1+sin2θ=2sin²2θ
解得：sin2θ=-

1

2

或sin2θ=1
∵θ∈（

π

2

，π），∴2θ∈（π，2π）
∴sin2θ=-

1

2

，∴sinθ+cosθ=-

2

2

∴cos2θ=

3

2

∴sin（2θ-

π

3

）=sin2θcos

π

3

-cos2θsin

π

3

=-

1

2

×

1

2

-

3

2

×

3

2

=-1
故答案为-1．

点评：本题考查了三角函数式的化简及求值问题，在求解过程中注意公式的选择，在利用平方关系式时要特别注意要确定三角函数值的符号．