Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（Ⅰ）若a=1，作函数f（x）的图象并写出单调区间；
（Ⅱ）当a≥0时，设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（Ⅲ）设h（x）=

f(x)

x

，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，利用分段函数作函数f（x）的图象并写出单调区间；
（Ⅱ）当a≥0时，根据二次函数的图象和性质即可求g（a）的表达式；
（Ⅲ）利用函数单调性的定义即可得到结论．

解答： 解：（I）当a=1时，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，x＜0 x2-x+1，x≥0

，
作图如下
                               
单调减区间：（-∞，-

1

2

]，[0，

1

2

]，单调增区间：[-

1

2

，0]，[

1

2

，+∞），
（II）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．
若a＞0，则f（x）=a（x-

1

2a

）²+2a-

1

4a

-1，f（x）图象的对称轴是直线x=

1

2a

．
当0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，
g（a）=f（1）=3a-2．
当1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，g（a）=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1．
当

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，
g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得g（a）=

6a-3，0≤a＜ 1 4 2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，a＞ 1 2

．
（III）当x∈[1，2]时，h（x）=ax+

2a-1

x

-1，在区间[1，2]上任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，
则h（x₂）-h（x₁）=(ax2+

2a-1

x2

-1)-(ax1+

2a-1

x1

-1)=（x₂-x₁）(a-

2a-1

x1x2

)
=（x₂-x₁）

ax1x2-(2a-1)

x1x2

．…（11分）
因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（x₂）-h（x₁）＞0．
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以ax₁x₂-（2a-1）＞0，
即ax₁x₂＞2a-1．
当a=0时，上面的不等式变为0＞-1，即a=0时结论成立．
当a＞0时，x₁x₂＞

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4，得

2a-1

a

≤1，解得0＜a≤1．
当a＜0时，x₁x₂＜

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4，得

2a-1

a

≥4，解得-

1

2

≤a＜0．
所以实数a的取值范围为[-

1

2

，1]．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，综合考查函数的性质的应用．