Question

已知函数f（x）=log₂x+3，x∈[1，64]
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）=f（x²）-[f（x）]²，求g（x）的最小值以及相应的x的值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由观察法及单调性求函数的值域；
（2）首先求出g（x）的定义域，再令log₂x=t，（t∈[0，3]），利用换元法及配方法求函数的最小值．

解答： 解：（1）∵x∈[1，64]，∴log₂x∈[0，6]，
∴f（x）=log₂x+3∈[3，9]，
即函数f（x）的值域为[3，9]； 
（2）由题意可知，g（x）中，

x2∈[1，64] x∈[1，64]

，
解得g（x）的定义域为[1，8]，
令log₂x=t，（t∈[0，3]），
则y=g(x)=log2x2+3-(log2x+3)2
=2t+3-（t+3）²=t²-4t-6=（t-2）²-10，
∵t∈[0，3]，
∴当t=2，即x=4时，g（x）的最小值为-10．

点评：本题考查了函数的值域与定义域的求法，同时考查了函数的最值的求法，用到了换元法及配方法，属于基础题．