Question

已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，已知a₁+a₄=-

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，且有S₁，S₃，S₂成等差；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N₊），记T_n=|

b1

a1

|+|

b2

a2

|+|

b3

a3

|+…+|

bn

an

|，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由S₁，S₃，S₂成等差列式求得q，结合a₁+a₄=-

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求得首项，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把a_n、b_n代入|

bn

an

|，整理后利用错位相减法求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵S₁，S₃，S₂成等差，
∴2（a1+a1q+a1q2）=a₁+a₁+a₁q．
整理得：2a₁（1+q+q²）=a₁（2+q）．
∵a₁≠0，
∴2+2q+2q²=2+q．
∴2q²+q=0，
又q≠0，∴q=-

1

2

．
又a1+a4=a1(1+q3)=-

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，
把q=-

1

2

代入后可得a1=-

1

2

．
∴an=a1qn-1=（-

1

2

）×(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n；
（Ⅱ）∵b_n=n，an=(-

1

2

)n
∴|

bn

an

|=|

n

(- 1 2 )n

|=n•2n，
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+n•2n．
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)•2n+n•2n+1．
∴-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．